求证：$\ln 2<\lg 5$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先利用换底公式统一底，原不等式等价于$$\ln 2<\dfrac{\ln 5}{\ln 2+\ln 5},$$即$$\ln^2{2}+\ln 2\cdot \ln 5<\ln 5.$$若考虑用$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)$$对 $\ln 2$ 和 $\ln 5$ 进行估算，则需要分别令 $x=\dfrac 13$ 和 $x=\dfrac 23$．出于对后者的收敛速度不满，令 $x=\ln 2$，$y=\ln\dfrac 54=\ln 5-2\ln2$，则只需要证明$$x^2+x(2x+y)<2x+y,$$即$$y>\dfrac{3x^2-2x}{1-x},$$设 $RHS=\varphi (x)$，则 $\varphi (x)$ 在 $x\in\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增，因此只需要估计 $x$ 的上界以及 $y$ 的下界．
对于 $x$ 的上界，由于$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)<2\left[x+\dfrac 13(x^3+x^5+\cdots)\right]<2\left[x+\dfrac{x^3}{3(1-x^2)}\right],$$令 $x=\dfrac 13$，可得 $\ln 2<\dfrac{25}{36}$．
对于 $y$ 的下界，由于$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)>2x,$$令 $x=\dfrac 19$，可得 $\ln\dfrac 54>\dfrac 29$．
事实上，我们有$$\varphi (x)<\varphi \left(\dfrac {25}{36}\right)=\dfrac 19\cdot \dfrac{75}{44}<\dfrac 29<\ln\dfrac 54=y,$$因此原命题得证．
对于 $x$ 的上界，由于$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)<2\left[x+\dfrac 13(x^3+x^5+\cdots)\right]<2\left[x+\dfrac{x^3}{3(1-x^2)}\right],$$令 $x=\dfrac 13$，可得 $\ln 2<\dfrac{25}{36}$．
对于 $y$ 的下界，由于$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)>2x,$$令 $x=\dfrac 19$，可得 $\ln\dfrac 54>\dfrac 29$．
事实上，我们有$$\varphi (x)<\varphi \left(\dfrac {25}{36}\right)=\dfrac 19\cdot \dfrac{75}{44}<\dfrac 29<\ln\dfrac 54=y,$$因此原命题得证．
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