如图，过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 作抛物线的两条弦 $AB,CD$，设直线 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $P$，直线 $AC,BD$ 分别与 $y$ 轴交于 $M,N$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$P$ 点恒在准线上；标注答案略解析设 $A(4a^2,4a)$，$D(4b^2,4b)$．由抛物线的几何平均性质，可得 $B\left(\dfrac1{4a^2},-\dfrac 1a\right)$，$C\left(\dfrac{1}{4b^2},-\dfrac 1b\right)$，则可得直线$$AC:y=\dfrac{4b}{4ab-1}x-\dfrac{4a}{4ab-1},$$于是直线$$BD:y=\dfrac{4a}{4ab-1}x-\dfrac{4b}{4ab-1},$$且$$M\left(0,-\dfrac{4a}{4ab-1}\right),N\left(0,-\dfrac{4b}{4ab-1}\right).$$联立直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的方程可得 $P$ 点的横坐标为定值 $-1$；
-
求证：四边形 $PMFN$ 为平行四边形．标注答案略解析易得直线 $AC$ 的斜率与直线 $FN$ 的斜率相等，且直线 $BD$ 的斜率与直线 $FM$ 的斜率相等，因此四边形 $PMFN$ 为平行四边形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
