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实数 $a,b$ 满足 $|a|\leqslant 1$，$|a+b|\leqslant 1$，则 $(a+1)(b+1)$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[0,\dfrac 94\right]$
B: $\left[-2,\dfrac 94\right]$
C: $\left[0,2\right]$
D: $\left[-2,2\right]$
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
【答案】
B
【解析】
设 $a+b=x$，其中 $-1\leqslant x\leqslant 1$，则\[(a+1)(b+1)=(a+1)x+1-a^2,\]视其为关于 $x$ 的函数，则其取值范围是\[\left[-a-a^2,2+a-a^2\right],\]于是所求取值范围是\[\bigcup_{-1\leqslant a\leqslant 1}\left[-a-a^2,2+a-a^2\right]=\left[-2,\dfrac 94\right].\]
题目 答案 解析 备注
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