已知函数 $f(x)=10x^2+bx+c$（$b,c\in\mathbb Z$）在区间 $(1,3)$ 上有两个不同的零点，求 $f(1)\cdot f(3)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$99$
【解析】
设 $f(x)$ 的零点分别为 $\alpha,\beta$，且 $1<\alpha<\beta<3$，则$$f(x)=10(x-\alpha)(x-\beta),$$于是\[\begin{split} f(1)\cdot f(3)&=10(1-\alpha)(1-\beta)\cdot 10(3-\alpha)(3-\beta)\\ &=100\cdot (\alpha -1)(3-\alpha)\cdot (\beta-1)(3-\beta) \\ &\leqslant 100,\end{split}\]其中用到了均值不等式，且等号取得的条件是 $\alpha=\beta=2$，于是等号无法取得，从而$$f(1)\cdot f(3)<100,$$结合 $f(1),f(3)$ 均为正整数，可得$$f(1)\cdot f(3)\leqslant 99.$$猜想最大值为 $99$，接下来尝试构造符合题意的函数．
取 $f(x)=10x^2-41x+42$，则有$$f(1)\cdot f(3)=11\cdot 9=99,$$于是所求的最大值为 $99$．
取 $f(x)=10x^2-41x+42$，则有$$f(1)\cdot f(3)=11\cdot 9=99,$$于是所求的最大值为 $99$．
答案
解析
备注
