已知锐角三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 满足 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，求证：$$S_{\triangle BPC}:S_{\triangle CPA}:S_{\triangle APB}=\dfrac{\sin A}{\sin (A+60^\circ)}:\dfrac{\sin B}{\sin (B+60^\circ)}:\dfrac{\sin C}{\sin (C+60^\circ)}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图作等边三角形 $ABD$，连接 $PD$，由费马点的性质易知 $C,P,D$ 三点共线．
于是有$$\dfrac{S_{\triangle BPC}}{S_{\triangle CPA}}=\dfrac{\dfrac 12\cdot PC\cdot BC\cdot \sin\angle PCB}{\dfrac 12\cdot PC\cdot AC\cdot \sin\angle PCA}=\dfrac{BC}{AC}\cdot \dfrac{\sin\angle PCB}{\sin\angle PCA}.$$在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，有$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sin A}{\sin B};$$在 $\triangle CAD$ 和 $\triangle CBD$ 中应用正弦定理有$$\dfrac{CD}{\sin (A+60^\circ)}=\dfrac{AD}{\sin\angle ACP},\dfrac{CD}{\sin (B+60^\circ)}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCP},$$因此$$\dfrac{\sin\angle PCB}{\sin\angle PCA}=\dfrac{\sin (B+60^\circ)}{\sin (A+60^\circ)};$$综上，有$$S_{\triangle BPC}:S_{\triangle CPA}=\dfrac{\sin A}{\sin (A+60^\circ)}:\dfrac{\sin B}{\sin (B+60^\circ)},$$因此原命题得证．
于是有$$\dfrac{S_{\triangle BPC}}{S_{\triangle CPA}}=\dfrac{\dfrac 12\cdot PC\cdot BC\cdot \sin\angle PCB}{\dfrac 12\cdot PC\cdot AC\cdot \sin\angle PCA}=\dfrac{BC}{AC}\cdot \dfrac{\sin\angle PCB}{\sin\angle PCA}.$$在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，有$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sin A}{\sin B};$$在 $\triangle CAD$ 和 $\triangle CBD$ 中应用正弦定理有$$\dfrac{CD}{\sin (A+60^\circ)}=\dfrac{AD}{\sin\angle ACP},\dfrac{CD}{\sin (B+60^\circ)}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCP},$$因此$$\dfrac{\sin\angle PCB}{\sin\angle PCA}=\dfrac{\sin (B+60^\circ)}{\sin (A+60^\circ)};$$综上，有$$S_{\triangle BPC}:S_{\triangle CPA}=\dfrac{\sin A}{\sin (A+60^\circ)}:\dfrac{\sin B}{\sin (B+60^\circ)},$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
