已知点 $F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$ 的左焦点，直线 $AB$ 经过 $F$ 且与椭圆交于 $A,B$ 两点．若 $O$ 为坐标原点，$\triangle AOB$ 的面积是 $\dfrac 92$，求直线 $AB$ 的斜率 $k$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
【解析】
设 $AB:x=my-4$，则$$\dfrac{1}{25}(my-4)^2+\dfrac 19y^2=1,$$从而$$\left(\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19\right)y^2-\dfrac{8m}{25}y-\dfrac{9}{25}=0,$$从而$$S_{\triangle AOB}=\dfrac 12\cdot 4\cdot \dfrac{1}{\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{8m}{25}\right)^2-4\left(\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19\right)\cdot \left(-\dfrac{9}{25}\right)}=\dfrac 92,$$整理得$$81m^4-1150m^2-975=0,$$于是$$(m^2-15)(81m^2+65)=0,$$因此直线 $AB$ 的斜率 $k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．
答案
解析
备注
