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设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    待定系数法
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
最大值是 $\dfrac 12$，最小值是 $-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$
【解析】
我们知道均值不等式$$ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}2$$可以用来将 $ab$ 转化为 $a^2+b^2$．因此可以抓住这一点，利用参数对其进行改造，使得 $a^2$ 与 $b^2$ 的系数变得可以调整，如$$\lambda a\cdot b\leqslant \dfrac{\lambda^2a^2+b^2}2,$$也即$$ab\leqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$其中 $\lambda>0$，且等号当 $\lambda a=b$ 时取得．此外，当 $\lambda<0$ 时，亦有$$ab\geqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$等号当 $\lambda a=b$ 时取得．
利用含参的均值不等式可得$$ab+bc+c^2\leqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu>0$，且$$ab+bc+c^2\geqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu<0$．
解方程组$$\begin{cases} \dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2=\lambda,\\ \dfrac{1}{2\mu}+1=\dfrac {3\lambda}2,\end{cases}$$可得 $(\lambda,\mu)=(1,1),\left(-\dfrac{1+\sqrt{13}}6,\dfrac{\sqrt{13}-5}6\right),\left(\dfrac{\sqrt{13}-1}6,-\dfrac{\sqrt{13}+5}6\right)$．舍去最后一组 $\lambda,\mu$ 异号的解，可得$$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}(a^2+2b^2+3c^2)\leqslant ab+bc+c^2\leqslant \dfrac 12(a^2+2b^2+3c^2),$$左边等号当$$a:b:c=18:-3-3\sqrt{13}:2\sqrt{13}-4$$时取得，右边等号当$$a:b:c=1:1:1$$时取得．
综上，$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$ 的最大值是 $\dfrac 12$，最小值是 $-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$．
答案 解析 备注
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