如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AB$ 的中点，$P$ 为以 $A$ 为圆心的弧 $BD$ 上一点（包含端点），且 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{DE}+\mu\overrightarrow{AP}$，求 $\lambda+\mu$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,5\right]$
【解析】
根据题意，有$$\begin{split} \mu \overrightarrow{AP}=&\overrightarrow{AC}-\lambda (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})\\=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\lambda\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AD}\\=&\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+\left(1+\lambda\right)\overrightarrow{AD},\end{split} $$由于 $P$ 在圆弧 $BD$ 上运动，因此$$\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\cdot \left(1+\lambda\right)\geqslant 0,$$解得$$-1\leqslant \lambda \leqslant 2,\mu\geqslant 0.$$于是$$\mu\overrightarrow{AP}\cdot \mu\overrightarrow{AP}=\left[\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1+\lambda)\overrightarrow{AD}\right]\cdot\left[\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1+\lambda)\overrightarrow{AD}\right],$$从而$$\mu^2=\left(1-\dfrac 12\lambda \right)^2+(1+\lambda)^2,$$由 $(1+\lambda )^2\geqslant 0,\mu\geqslant 0,1-\dfrac 12\lambda \geqslant 0$ 得到$$\lambda+\mu\geqslant \lambda+\left(1-\dfrac 12\lambda\right) =1+\dfrac 12\lambda\geqslant \dfrac 12,$$等号当且仅当 $\lambda=-1$ 时取得，而$$\lambda+\mu\leqslant \lambda + \left(1-\dfrac 12\lambda +1+\lambda\right)=2+\dfrac 32\lambda \leqslant 5,$$等号当且仅当 $\lambda =2$ 时取得．
综合连续性，可得 $\lambda+\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,5\right]$．
综合连续性，可得 $\lambda+\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,5\right]$．
答案
解析
备注
