设函数 $f(x)=(x-2)^2(x+b)\mathrm{e}^x$，若 $x=2$ 是 $f(x)$ 的一个极大值点，则实数 $b$ 的所有可能取值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AB
【解析】
对原函数 $f(x)$ 求导，得$$f'(x)=\mathrm{e}^x\cdot(x-2)\cdot[x^2+(b+1)x-2],$$根据题意，有存在 $m<2,n>2$，使得\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&(m,2)&2&(2,n)\\ \hline
f'(x)&+&0&-\\ \hline
f(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow\\ \hline
\end{array}\]于是\[\left(x^2+(b+1)x-2\right)\Big|_{x=2}<0,\]从而实数 $b$ 的取值范围为 $(-\infty,-2)$．
x&(m,2)&2&(2,n)\\ \hline
f'(x)&+&0&-\\ \hline
f(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow\\ \hline
\end{array}\]于是\[\left(x^2+(b+1)x-2\right)\Big|_{x=2}<0,\]从而实数 $b$ 的取值范围为 $(-\infty,-2)$．
题目
答案
解析
备注
