已知 $x>0$，求证：$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $f(x)=\dfrac{\ln (1+x)}{x}$，$x\in (0,+\infty)$，因为$$f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x+1}-\ln (1+x) }{x^2}<0, $$所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
注意到同底数的指对函数之间互为反函数的关系，我们有$$f\left(\mathrm{e} ^x-1\right)=\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1}. $$再注意到，当 $x>0$ 时，$\mathrm{e} ^x-1>x>\ln (1+x)>0$，故有$$f(x)>f\left(\mathrm{e} ^x-1\right),$$即$$\dfrac{\ln (1+x)}{x}>\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1}, $$变形即得 $\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
注意到同底数的指对函数之间互为反函数的关系，我们有$$f\left(\mathrm{e} ^x-1\right)=\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1}. $$再注意到，当 $x>0$ 时，$\mathrm{e} ^x-1>x>\ln (1+x)>0$，故有$$f(x)>f\left(\mathrm{e} ^x-1\right),$$即$$\dfrac{\ln (1+x)}{x}>\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1}, $$变形即得 $\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
答案
解析
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