当 $-1\leqslant x \leqslant 1$ 时，证明：$\sin{x}\cdot\arcsin{x}\geqslant x^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x=0$ 时，原不等式显然成立；当 $x\ne 0$ 时，不妨设 $x>0$，此时原不等式等价于\[\dfrac{\sin x}{x}\geqslant \dfrac{x}{\arcsin x}.\]考虑函数 $\varphi(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{\cos x\left(x-\tan x\right)}{x^2}<0,\]于是函数 $\varphi(x)$ 单调递减，于是\[\varphi(x)>\varphi(\arcsin x),\]原不等式得证．
答案
解析
备注
