已知 $a+b+c=1$，$a,b,c\geqslant 0$，求 $(c-a)(c-b)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 18,1\right ]$
【解析】
所求代数式的最大值容易求出：$$(c-a)(c-b)\leqslant (c+a)(c+b)\leqslant 1,$$等号当 $a=b=0$，$c=1$ 时同时取得，因此所求代数式的最大值为 $1$；
接下来研究最小值，此时 $c$ 必然在 $a,b$ 之间，不妨设 $a\leqslant c\leqslant b$，则$$(c-a)(c-b)=-(c-a)(b-c).$$考虑用均值不等式$$-(c-a)(b-c)\geqslant -\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\geqslant -\dfrac 14,$$等号当 $c-a=b-c$，$b=1$，$a=0$ 时取得，显然此时 $a+b+c=\dfrac 32$，不符合题意．
分析失败原因，可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元，接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形，因此可以作调整：$$-(c-a)(b-c)=-\dfrac 12\cdot (2c-2a)(b-c)\geqslant -\dfrac 12\left(\dfrac{b+c-2a}{2}\right)^2=-\dfrac {(1-3a)^2}{8}\geqslant -\dfrac 18,$$等号当 $a=0$，$b=\dfrac 34$，$c=\dfrac 14$ 时取得．
综上，考虑到连续性，可得所求代数式的取值范围是 $\left[-\dfrac 18,1\right]$．
接下来研究最小值，此时 $c$ 必然在 $a,b$ 之间，不妨设 $a\leqslant c\leqslant b$，则$$(c-a)(c-b)=-(c-a)(b-c).$$考虑用均值不等式$$-(c-a)(b-c)\geqslant -\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\geqslant -\dfrac 14,$$等号当 $c-a=b-c$，$b=1$，$a=0$ 时取得，显然此时 $a+b+c=\dfrac 32$，不符合题意．
分析失败原因，可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元，接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形，因此可以作调整：$$-(c-a)(b-c)=-\dfrac 12\cdot (2c-2a)(b-c)\geqslant -\dfrac 12\left(\dfrac{b+c-2a}{2}\right)^2=-\dfrac {(1-3a)^2}{8}\geqslant -\dfrac 18,$$等号当 $a=0$，$b=\dfrac 34$，$c=\dfrac 14$ 时取得．
综上，考虑到连续性，可得所求代数式的取值范围是 $\left[-\dfrac 18,1\right]$．
答案
解析
备注
