题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x(x^2+ax+a)$． 问题1 当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-2)$ 和 $(-1,+\infty)$；单调递减区间为 $(-2,-1)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x(x+a)(x+2).$$当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x(x+1)(x+2),$$于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-2)$ 和 $(-1,+\infty)$；单调递减区间为 $(-2,-1)$． 备注1 问题2 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\leqslant {\rm e}^{a}$ 在 $[a,+\infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$ 解析2 先考虑 $f(a)={\rm e}^a(2a^2+a)$，显然当 $-1\leqslant a\leqslant \dfrac 12$ 时，$f(a)\leqslant {\rm e}^a$，接下来研究其他情形．<br/>当 $a<-1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 和 $(-a,+\infty)$ 上单调递增；在 $(-2,-a)$ 上单调递减，因此函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上的最小值必然为 $\min\{f(a),f(-a)\}$．考虑到 $f(a)>{\rm e}^a$，又$$f(-a)={\rm e}^{-a}\cdot a<0<{\rm e}^{a},$$因此符合题意．<br/>当 $a>\dfrac 12$ 时，无论 $-a$ 与 $-2$ 的大小关系如何，均有函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递增．又 $f(a)>{\rm e}^a$，因此不符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$． 备注2 $(2)$ 还可以利用$$x^2+ax+a\leqslant {\rm e}^{a-x}\leqslant 1,$$得到必要条件 $a\leqslant \dfrac 12$，再论证充分性． 问题3 若曲线 $y=f(x)$ 存在两条互相垂直的切线，求实数 $a$ 的取值范围（只需直接写出结果）． 答案3 $(-\infty,2)\cup (2,+\infty)$ 解析3 由于 $f'(x)$ 的取值无上界，因此只需要存在负的函数值即可，因此 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2)\cup (2,+\infty)$． 备注3 每日一题[535]缩小包围圈．