设 $P,Q$ 是抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）上的不同两点，抛物线 $C$ 在 $P,Q$ 处的切线交于点 $M$．过 $M$ 作直线 $l$ 与抛物线交于点 $A,B$，与直线 $PQ$ 交于点 $K$，求证：$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $2$
【解析】
所求的结论涉及的线段都位于同一条直线上，因此可以考虑利用直线的参数方程简化问题．
设 $M(x_0,y_0)$，则直线 $PQ:y_0y=p(x+x_0)$．设直线 $l$ 的方程为$$\begin{cases} x=x_0+t,\\ y=y_0+kt,\end{cases}$$点 $A,B,K$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2,t_0$，则$$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}=\dfrac{t_0}{t_1}+\dfrac{t_0}{t_2}=t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}.$$联立直线 $l$ 的方程与抛物线 $y^2=2px$ 的方程，整理得$$k^2t^2+(2ky_0-2p)t+y_0^2-2px_0=0,$$联立直线 $l$ 的方程与直线 $PQ$ 的方程，可得$$y_0^2+ky_0t=p(2x_0+t),$$从而$$t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}=\dfrac{y_0^2-2px_0}{p-ky_0}\cdot\dfrac{2p-2ky_0}{y_0^2-2px_0}=2,$$为定值．因此原命题得证．
设 $M(x_0,y_0)$，则直线 $PQ:y_0y=p(x+x_0)$．设直线 $l$ 的方程为$$\begin{cases} x=x_0+t,\\ y=y_0+kt,\end{cases}$$点 $A,B,K$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2,t_0$，则$$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}=\dfrac{t_0}{t_1}+\dfrac{t_0}{t_2}=t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}.$$联立直线 $l$ 的方程与抛物线 $y^2=2px$ 的方程，整理得$$k^2t^2+(2ky_0-2p)t+y_0^2-2px_0=0,$$联立直线 $l$ 的方程与直线 $PQ$ 的方程，可得$$y_0^2+ky_0t=p(2x_0+t),$$从而$$t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}=\dfrac{y_0^2-2px_0}{p-ky_0}\cdot\dfrac{2p-2ky_0}{y_0^2-2px_0}=2,$$为定值．因此原命题得证．
答案
解析
备注
