已知三个角 $A,B,C$ 的和为 $2\pi$，求 $\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 3}2$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B-\sin (A+B)\\ &=2\sin\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2-2\sin\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A+B}2\\ &\leqslant |2\sin x|+2|\sin x|\cdot|\cos x|,\end{split}\]记 $x=\dfrac {A+B}{2}$，当$$\left|\cos\dfrac{A-B}{2}\right |=1,\sin(A+B)\leqslant 0$$时取得等号，于是问题转化为求 $2|\sin x|(1+|\cos x|)$ 的最大值．
事实上，有\[\begin{split} 2|\sin x|\cdot (1+|\cos x|)&=2\cdot \sqrt{(1-|\cos x|^2)(1+|\cos x|)^2}\\&=2\cdot \sqrt{\dfrac{(1+|\cos x|)^3(3-3|\cos x|)}{3}}\\& \leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 64\right)^4}=\dfrac{3\sqrt 3}2,\end{split}\]当 $|\cos x|=\dfrac 12$ 时取得等号．
因此 $\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$，取得最值的条件是$$A=\dfrac {2\pi}{3}+2m\pi,B=\dfrac{2\pi}3+2n\pi,m,n\in\mathbb Z.$$
事实上，有\[\begin{split} 2|\sin x|\cdot (1+|\cos x|)&=2\cdot \sqrt{(1-|\cos x|^2)(1+|\cos x|)^2}\\&=2\cdot \sqrt{\dfrac{(1+|\cos x|)^3(3-3|\cos x|)}{3}}\\& \leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 64\right)^4}=\dfrac{3\sqrt 3}2,\end{split}\]当 $|\cos x|=\dfrac 12$ 时取得等号．
因此 $\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$，取得最值的条件是$$A=\dfrac {2\pi}{3}+2m\pi,B=\dfrac{2\pi}3+2n\pi,m,n\in\mathbb Z.$$
答案
解析
备注
