根据题意，三棱锥 $P-ABC$ 的补形平行六面体是底面为菱形的直四棱柱，其中菱形的边长为\[\sqrt{\left(\dfrac{AB}2\right)^2+\left(\dfrac {PC}2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{13}4},\]因此直四棱柱的高为\[\sqrt{PA^2-\dfrac{13}4}=\dfrac{\sqrt 3}2,\]又三棱锥 $P-ABC$ 的外接球的球心必然在直四棱柱上下底面中心的连线上，设外接球的半径为 $R$，则\[\sqrt{R^2-\dfrac 14}-\sqrt{R^2-3\dfrac 14}=\dfrac{\sqrt 3}2\lor\sqrt{R^2-\dfrac 14}+\sqrt{R^2-3}=\dfrac{\sqrt 3}2,\]解得\[4\pi R^2=4\pi\cdot \dfrac{13}{3}=\dfrac{52\pi}3.\]