设 $a,b,c,d\in\mathbb R$，且 $a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$的最小值．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据已知条件的形式，考虑利用柯西不等式．引入参数，有\[\begin{split} \sqrt{10}&=(1-\lambda)a+(2-\lambda)b+(3-\lambda)c+(4-\lambda)d+\lambda (a+b+c+d)\\ &\leqslant \sqrt{(1-\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3-\lambda)^2+(4-\lambda)^2+\lambda ^2}\cdot \sqrt M,\end{split}\]其中$$M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2.$$考虑到等号取得的条件，有$$(1-\lambda)+(2-\lambda)+(3-\lambda)+(4-\lambda)=\lambda,$$解得 $\lambda=2$，于是$$\sqrt {10}\leqslant \sqrt{10}\cdot \sqrt M,$$从而 $M$ 的最小值为 $1$，当 $(a,b,c,d)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{2}{\sqrt{10}}\right)$ 时取得．
答案
解析
备注
