题目 设 $a_1=1$，$a_2=8$，$a_{n+1}=a_{n-1}+\dfrac 4na_n$（$n=2,3,\cdots $）． 问题1 证明：存在 $c>0$，使得 $a_n\leqslant cn^2$（$n=1,2,\cdots $）； 答案1 略 解析1 考虑递推证明，若当 $n=1,2,\cdots ,k$ 时，均有 $a_n\leqslant cn^2$，则对第 $k+1$ 项，有$$a_{k+1}\leqslant c(k-1)^2+\dfrac 4k\cdot ck^2=c(k+1)^2,$$这就意味着只需要选择合适的 $c$，使其满足归纳基础即可．<br/>考虑到 $a_2=8$，因此可以取 $c=2$，有$$\forall n\in\mathbb N^*,a_n\leqslant 2n^2.$$ 备注1 问题2 证明：$\forall n\in \mathbb N^*,a_{n+1}-a_n\leqslant 4n+3$． 答案2 略 解析2 将第 $(1)$ 小题中的常数 $c$ 变易为 $b_n$，即令 $a_n=b_n\cdot n^2$，则根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $b_n\leqslant 2$．<br/>另一方面，有$$(n+1)^2b_{n+1}=(n-1)^2b_{n-1}+[(n+1)^2-(n-1)^2]b_n,$$整理得$$\dfrac{b_{n+1}-b_n}{b_n-b_{n-1}}=-\dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2},$$从而$$b_{n+1}-b_n=(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2},$$于是\[\begin{split} a_{n+1}-a_n&=(n+1)^2b_{n+1}-n^2b_n\\& =n^2(b_{n+1}-b_n)+(2n+1)b_{n+1}\\&\leqslant n^2\cdot (-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2}+(2n+1)\cdot 2\\ &\leqslant 4n+3,\end{split}\]因此原命题得证． 备注2 每日一题[541]常数变易．