已知 $f(x)=\dfrac ax+\dfrac xa-\left(a-\dfrac 1a\right)\ln x$，求证：存在一个长度大于 $1$ 的闭区间 $D$（闭区间 $[m,n]$ 的长度指 $n-m$），使得当 $a\in D$ 时，$f(x)$ 没有零点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将函数 $f(x)$ 改成写$$f(x)=\dfrac 1a\left(x+\dfrac{a^2}x-(a^2-1)\ln x\right ),$$由于 $a$ 的取值范围必然关于原点对称，且 $a\neq 0$，于是只需要考虑 $a>0$ 的情形．
估算法一
情形一 当 $0<a\leqslant 1$ 时，此时$$\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x,$$于是$$x+\dfrac{a^2}x-(a^2-1)\ln x\geqslant x+\dfrac{a^2}x+(1-a^2)\left(1-\dfrac 1x\right)=x+(1-a^2)+\dfrac{2a^2-1}{x},$$于是当 $\dfrac{\sqrt 2}2\leqslant a\leqslant 1$ 时符合题意．
情形二 当 $a>1$ 时，考虑到$$x+\dfrac {a^2}x>x,$$于是取函数 $y=(a^2-1)\ln x$ 在 $x={\rm e}$ 处的切线，则有$$(a^2-1)\ln x\leqslant \dfrac{a^2-1}{\rm e}\cdot x,$$于是当 $1<a\leqslant \sqrt{\rm e+1}$ 时符合题意．
综上所述，当 $a\in\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt{\rm e+1}\right]$ 时均符合题意，而此区间长度大于 $1$，于是原命题得证．
估算法二
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-a^2)}{ax^2},$$于是当 $x=a^2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极小值，亦为最小值$$f(a^2)=\dfrac 1a\big[a^2+1-(a^2-1)\cdot \ln a^2\big].$$设$$g(x)=x+1-(x-1)\cdot\ln x,$$则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac 1x-\ln x,$$因为 $g'(x)$ 单调递减，且$$g'(1)>0,g'(2)<0,$$所以 $g(x)$ 有唯一的零点 $m\in(1,2)$，从而函数 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,+\infty)$ 上单调递减．
由于$$g\left(\dfrac 14\right)=\dfrac{5-6\ln 2}4>0,$$且$$g(4)=5-6\ln 2>0,$$而区间 $\left[\dfrac 12,2\right]$ 的长度大于 $1$，于是原命题得证．
精细的估计
由于$$\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),0<x<1,$$于是在估算法二中可以绕开对 $\ln 2$ 的值的估算将 $a$ 的可能的取值区间的下界推进到方程$$x+1-(x-1)\cdot\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)=0$$的较小根的算术平均数 $\sqrt{2-\sqrt 3}\approx 0.5176$．
如果采用更好的估计 $\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，那么就需要解一个四次方程，把结果推进到$$\left[\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}-\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2,\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}+\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2\right],$$约为 $[0.4805,2.0810]$．直接利用mma得到的结果是 $[0.4622,2.1634]$，这个估计已经很好了．
综上所述，当 $a\in\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt{\rm e+1}\right]$ 时均符合题意，而此区间长度大于 $1$，于是原命题得证．
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-a^2)}{ax^2},$$于是当 $x=a^2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极小值，亦为最小值$$f(a^2)=\dfrac 1a\big[a^2+1-(a^2-1)\cdot \ln a^2\big].$$设$$g(x)=x+1-(x-1)\cdot\ln x,$$则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac 1x-\ln x,$$因为 $g'(x)$ 单调递减，且$$g'(1)>0,g'(2)<0,$$所以 $g(x)$ 有唯一的零点 $m\in(1,2)$，从而函数 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,+\infty)$ 上单调递减．
由于$$g\left(\dfrac 14\right)=\dfrac{5-6\ln 2}4>0,$$且$$g(4)=5-6\ln 2>0,$$而区间 $\left[\dfrac 12,2\right]$ 的长度大于 $1$，于是原命题得证．
由于$$\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),0<x<1,$$于是在估算法二中可以绕开对 $\ln 2$ 的值的估算将 $a$ 的可能的取值区间的下界推进到方程$$x+1-(x-1)\cdot\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)=0$$的较小根的算术平均数 $\sqrt{2-\sqrt 3}\approx 0.5176$．
如果采用更好的估计 $\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，那么就需要解一个四次方程，把结果推进到$$\left[\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}-\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2,\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}+\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2\right],$$约为 $[0.4805,2.0810]$．直接利用mma得到的结果是 $[0.4622,2.1634]$，这个估计已经很好了．
答案
解析
备注
