已知关于 $x$ 的方程 $x^2\ln x=a\ln a-a\ln x$ 有 $3$ 个实根，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right)$
【解析】
因为 $a>0$，题目条件即 $\ln x-\dfrac {a\ln a}{x^2+a}=0$ 有三个实根．记左侧函数为 $f(x)$，则有$$f'(x)=\dfrac 1x+\dfrac {2a{\ln a} x}{(x^2+a)^2}=\dfrac {x^4+2a(1+\ln a)x^2+a^2}{x(x^2+a)^2}.$$要使得函数 $f(x)$ 有三个零点，则 $f'(x)$ 至少有两个零点，对应方程 $t^2+2a(1+\ln a)t+a^2=0$ 至少有两个正根，所以$$\Delta=4a^2(1+\ln a)^2-4a^2>0,-2a(1+\ln a)>0,$$解得 $0<a<\dfrac 1{\rm e^2}$．下面证明此时函数一定有三个零点：
注意到 $f(\sqrt a)=0$，而 $f'(\sqrt a)=2a^2(2+\ln a)<0$，$f'(x)$ 的两个极值点 $m,n$ 满足 $m<\sqrt a<n$，$f(x)$ 在 $(0,m)$ 单调递增，在 $(m,n)$ 上单调递减，在 $(n,+\infty)$ 上单调递增，所以$$f(m)>f(\sqrt a)=0>f(n),$$另一方面$$\lim\limits_{x\to 0+}f(x)\to -\infty,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\to+\infty,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 与 $(n,+\infty)$ 上各有一个零点，所以 $a\in\left(0,\dfrac 1{\rm e^2}\right)$ 满足题意．
注意到 $f(\sqrt a)=0$，而 $f'(\sqrt a)=2a^2(2+\ln a)<0$，$f'(x)$ 的两个极值点 $m,n$ 满足 $m<\sqrt a<n$，$f(x)$ 在 $(0,m)$ 单调递增，在 $(m,n)$ 上单调递减，在 $(n,+\infty)$ 上单调递增，所以$$f(m)>f(\sqrt a)=0>f(n),$$另一方面$$\lim\limits_{x\to 0+}f(x)\to -\infty,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\to+\infty,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 与 $(n,+\infty)$ 上各有一个零点，所以 $a\in\left(0,\dfrac 1{\rm e^2}\right)$ 满足题意．
答案
解析
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