已知关于 $x$ 的方程 $x^2\ln a=x^2\ln x+a\ln x$ 有 $3$ 个实根，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$({\rm e}^2,+\infty)$
【解析】
因为 $x>0,a>0$，令 $t=x^2$，并“清君侧”将问题转化为函数$$f(x)=\ln x-\dfrac {2x\ln a}{x+a}$$有三个零点．
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {x^2+2ax(1-\ln a)+a^2}{x(x+a)^2},$$因为 $f(x)$ 有三个零点，所以方程 $x^2+2ax(1-\ln a)+a^2=0$ 有两个不等正实根，从而$$\Delta>0,2a(1-\ln a)<0,$$解得 $a>{\rm e}^2$．下面证明 $a$ 在此范围内满足题意：
注意到$$f(a)=0,f'(a)=\dfrac {2-\ln a}{2a}<0,$$所以函数 $f(x)$ 的两个极值点 $m,n$ 满足 $m<a<n$，从而有 $f(m)>f(a)=0>f(n)$，又因为$$\lim_{x\to 0+}f(x)=-\infty,\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,m),(n,+\infty)$ 上各有一个零点，从而满足题意．
综上知 $a\in\left({\rm e}^2,+\infty\right)$．
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {x^2+2ax(1-\ln a)+a^2}{x(x+a)^2},$$因为 $f(x)$ 有三个零点，所以方程 $x^2+2ax(1-\ln a)+a^2=0$ 有两个不等正实根，从而$$\Delta>0,2a(1-\ln a)<0,$$解得 $a>{\rm e}^2$．下面证明 $a$ 在此范围内满足题意：
注意到$$f(a)=0,f'(a)=\dfrac {2-\ln a}{2a}<0,$$所以函数 $f(x)$ 的两个极值点 $m,n$ 满足 $m<a<n$，从而有 $f(m)>f(a)=0>f(n)$，又因为$$\lim_{x\to 0+}f(x)=-\infty,\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,m),(n,+\infty)$ 上各有一个零点，从而满足题意．
综上知 $a\in\left({\rm e}^2,+\infty\right)$．
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