已知函数 $f(x)=x^2+ax+1$，存在 $x_0$ 使 $|f(x_0)|$ 与 $|f(x_0+1)|$ 均不大于 $\dfrac 14$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-\sqrt 6,-2]\cup [2,\sqrt 6]$
【解析】
题意即在不等式$$-\dfrac 14\leqslant x^2+ax+1\leqslant \dfrac 14$$的解集中存在两个距离为 $1$ 的数．设方程 $x^2+ax+1=\dfrac 14$ 和方程 $x^2+ax+1=-\dfrac 14$ 的判别式分别为 $\Delta_1=a^2-3$ 和 $\Delta_2=a^2-5$．
情形一 $\Delta_1\geqslant 0$ 且 $\Delta_2\leqslant 0$．
此时不等式解集的长度为 $\sqrt{a^2-3}\geqslant 1$，从而 $4\leqslant a^2\leqslant5$．
情形二 $\Delta_2>0$．
此时不等式的解集为两个区间的并集．注意到每个区间的长度均为$$\dfrac{\sqrt{a^2-3}-\sqrt{a^2-5}}2=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-3}+\sqrt{a^2-5}}<1,$$于是问题转化为两个区间内的点之间的距离的最小值 $\sqrt{a^2-5}\leqslant 1$，且距离的最大值 $\sqrt{a^{2}-3}\geqslant 1$，即 $5<a^2\leqslant 6$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-\sqrt 6,-2]\cup [2,\sqrt 6]$．
此时不等式解集的长度为 $\sqrt{a^2-3}\geqslant 1$，从而 $4\leqslant a^2\leqslant5$．
此时不等式的解集为两个区间的并集．注意到每个区间的长度均为$$\dfrac{\sqrt{a^2-3}-\sqrt{a^2-5}}2=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-3}+\sqrt{a^2-5}}<1,$$于是问题转化为两个区间内的点之间的距离的最小值 $\sqrt{a^2-5}\leqslant 1$，且距离的最大值 $\sqrt{a^{2}-3}\geqslant 1$，即 $5<a^2\leqslant 6$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-\sqrt 6,-2]\cup [2,\sqrt 6]$．
答案
解析
备注
