已知函数 $f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$，求证：$f(x)$ 在区间 $(-1,0)$ 内至少有一个零点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然当 $a=0$ 时，$f(x)$ 有零点 $x=-\dfrac 12$，符合题意．接下来讨论 $a\neq 0$ 的情形，此时问题等价于证明函数 $g(x)=3x^2+2tx+(t-1)$ 在区间 $(-1,0)$ 内至少有一个零点，其中 $t=\dfrac ba$．考虑到 $g(-1)=2-t$，而 $g(0)=t-1$，因此讨论如下．
情形一 $g(-1)\cdot g(0)<0$，即 $t<1$ 或 $t>2$．
此时根据零点的存在性定理，符合题意．
情形二 $g(-1)\cdot g(0)\geqslant 0$，即 $1\leqslant t\leqslant 2$．
此时函数 $g(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac t3$ 在区间 $(-1,0)$ 内，而其判别式$$\Delta=(2t)^2-4\cdot 3\cdot (t-1)=4(t^2-3t+3)>0.$$考虑到 $g(-1)$ 和 $g(0)$ 中至少有一个为正数，符合题意．
综上所述，$f(x)$ 在区间 $(-1,0)$ 内至少有一个零点．
此时根据零点的存在性定理，符合题意．
此时函数 $g(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac t3$ 在区间 $(-1,0)$ 内，而其判别式$$\Delta=(2t)^2-4\cdot 3\cdot (t-1)=4(t^2-3t+3)>0.$$考虑到 $g(-1)$ 和 $g(0)$ 中至少有一个为正数，符合题意．
综上所述，$f(x)$ 在区间 $(-1,0)$ 内至少有一个零点．
答案
解析
备注
