已知 $x\in (0,{\mathrm e})$，求证：$\dfrac{({\mathrm e}^2-{\mathrm e}^2\ln x+x)^2}{\ln ^2x+2\ln x+2}>\dfrac{{\mathrm e}^2}5$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
题中不等式等价于$$\left({\mathrm e}^{\ln x-1}-{\mathrm e}(\ln x-1)\right)^2>\dfrac 15(\ln^2x+2\ln x+2),$$令 $t=\ln x-1$（$t<0$），则不等式等价于$$\left({\mathrm e}^t-{\mathrm e}t\right)^2>\dfrac 15t^2+\dfrac 45t+1.$$取函数 $y={\mathrm e}^t-{\mathrm e}t$ 在 $t=0$ 处的切线，有$${\mathrm e}^t-{\mathrm e}t> (1-{\mathrm e})t+1,t<0,$$因此$$\left({\mathrm e}^t-{\mathrm e}t\right)^2>\left[(1-{\mathrm e})t+1\right]^2=({\mathrm e}-1)^2t^2-2({\mathrm e}-1)t+1,$$而当 $t<0$ 时，有$$({\mathrm e}-1)^2t^2>\dfrac 15t^2,-2({\mathrm e}-1)t>\dfrac 45t,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
