已知 $f(x) =x\lvert x \rvert$，若对任意的 $x \geqslant 1$ 有 $f(x +m) + mf(x) <0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 是单调递增的奇函数，且$$mf(x)=2mx|x|=\begin{cases} f(\sqrt m x),&m\geqslant 0,\\ f(-\sqrt {-m} x),&m<0.\end{cases}$$因此问题转化为$$\begin{cases} m\geqslant 0,\\ \forall x\geqslant 1,\sqrt m x<-x-m,\end{cases}$$或$$\begin{cases} m<0,\\ \forall x\geqslant 1,-\sqrt{-m}x<-x-m,\end{cases}$$解得 $m\leqslant -1$．
题目
答案
解析
备注
