已知实数 $x,y$ 满足 $x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y$，求 $x+y$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $9+3\sqrt{15}$，最小值为 $\dfrac{9+3\sqrt{21}}2$
【解析】
令 $a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{y+2}$，且 $a,b\geqslant 0$，则 $x+y=a^2+b^2-3$，且条件变为$$a^2-1-3a=3b-(b^2-2),$$即$$\left(a-\dfrac 32\right)^2+\left(b-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{15}2,$$它表示一段圆弧，如图．
显然圆弧上的点 $P$ 到原点的距离 $OP$ 的最大值为$$OD=OC+r=\dfrac{3\sqrt 2}2+\sqrt{\dfrac{15}2}=\dfrac{3\sqrt 2+\sqrt{30}}2,$$其中 $r$ 为圆 $C$ 的半径．而 $OP$ 的最小值为$$OA=\dfrac{3+\sqrt{21}}2.$$因此 $x+y$ 的最大值为 $9+3\sqrt{15}$，最小值为 $\dfrac{9+3\sqrt{21}}2$．
显然圆弧上的点 $P$ 到原点的距离 $OP$ 的最大值为$$OD=OC+r=\dfrac{3\sqrt 2}2+\sqrt{\dfrac{15}2}=\dfrac{3\sqrt 2+\sqrt{30}}2,$$其中 $r$ 为圆 $C$ 的半径．而 $OP$ 的最小值为$$OA=\dfrac{3+\sqrt{21}}2.$$因此 $x+y$ 的最大值为 $9+3\sqrt{15}$，最小值为 $\dfrac{9+3\sqrt{21}}2$．
答案
解析
备注
