已知函数 $f(x)=2\ln x-ax^2+1$，存在实数 $m$，使得方程 $f(x)=m$ 的两个实根 $\alpha,\beta$ 均在区间 $[1,4]$ 内，且 $\beta-\alpha=1$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{4\ln 2-2\ln 3}{7},\dfrac{2\ln 2}{3}\right]$
【解析】
原问题即存在 $x\in [1,3]$ 使得 $f(x+1)=f(x)$．上述方程即$$2\ln (x+1)-a(x+1)^2+1=2\ln x-ax^2+1,$$整理得$$a=2\cdot \ln\left(1+\dfrac 1x\right)\cdot \dfrac{1}{2x+1},$$上述等式右侧函数在区间 $[1,3]$ 上单调递减，因此 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4\ln 2-2\ln 3}{7},\dfrac{2\ln 2}{3}\right]$．
答案
解析
备注
