已知函数 $f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，$x_1\neq x_2$，求证：$x_1+x_2>2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {x^{2}-x+\ln x}{x^{2}}.$$$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，不妨设 $x_{1}<x_{2}$，证明 $f(x_{2})=f(x_{1})>f(2-x_{1})$ 即可，即证明$$\forall x\in(0,1),f(x)-f(2-x)>0.$$记 $g(x)=f(x)-f(2-x)$，因为$$\forall x\in(0,1),f'(x)<0;\forall x>1,f'(x)>0,$$所以$$\forall x\in(0,1),g'(x)=f'(x)+f'(2-x)<0,$$从而有 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，$g(x)>g(1)=0$．
答案
解析
备注
