已知 $a_{n+1}=\left(\sqrt{a_n}-1\right)^2$，若对任意不小于 $2$ 的正整数 $n$ 均有 $a_{n+2}-a_n=0$ 成立，求 $a_1$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,4]$
【解析】
记 $f(x)=\left(\sqrt x-1\right)^2$，则 $a_{n+1}=f(a_n)$，于是题意即对任意不小于 $2$ 的正整数 $n$ 均有$$\begin{cases} a_n=f(a_{n+1}),\\ a_{n+1}=f(a_n),\end{cases}$$因此 $a_n$ 是曲线 $x=f(y)$ 与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的横坐标．曲线 $y=(\sqrt x-1)^2$ 由曲线 $\sqrt x+\sqrt y=1$（$0\leqslant x\leqslant 1$）和曲线 $\sqrt x-\sqrt y=1$（$x>1$）组成，因此问题转化为 $a_n\in [0,1]$，其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^*$．
由图易知 $a_1=4$ 是分界点，讨论如下．
情形一 $0\leqslant a_1\leqslant 4$．
此时 $a_2\in [0,1]$，而当 $x\in [0,1]$ 时有 $f(x)\in [0,1]$，因此 $a_n\in [0,1]$，其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^*$，符合题意．
情形二 $a_1>4$．
此时 $a_2>1$，不符合题意．
综上所述，$a_1$ 的取值范围是 $[0,4]$．
由图易知 $a_1=4$ 是分界点，讨论如下．此时 $a_2\in [0,1]$，而当 $x\in [0,1]$ 时有 $f(x)\in [0,1]$，因此 $a_n\in [0,1]$，其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^*$，符合题意．
此时 $a_2>1$，不符合题意．
综上所述，$a_1$ 的取值范围是 $[0,4]$．
答案
解析
备注
