已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right){{\mathrm{e}}^{ - 2x}}$，$g\left( x \right) = ax + \dfrac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，当 $x \in \left[ {0,1} \right]$ 时，
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（理）
【标注】
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求证：$1 - x \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$；标注答案略解析欲证结论为\[\forall x\in [0,1],1-x\leqslant \dfrac{1+x}{{\rm e}^{2x}}\leqslant \dfrac{1}{1+x},\]即\[\forall x\in[0,1],1+x\leqslant {\rm e}^x\leqslant \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},\]左侧为我们熟知的不等式．对于右侧，令 $x=\ln t$，则右侧不等式等价于\[\forall t\in [1,{\rm e}],t^2\leqslant \dfrac{1+\ln t}{1-\ln t},\]也即\[\forall t\in [1,{\rm e}],\ln t^2\geqslant \dfrac{2\left(t^2-1\right)}{t^2+1},\]亦为我们熟知的不等式．
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若 $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$\left( { - \infty , - 3} \right]$解析令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(0)=0$，且其导函数\[h'(x)={\rm e}^{-2x}\cdot (2x-1)-\dfrac 32x^2-a-2\cos x+2x\sin x,\]有\[h'(0)=-a-3,\]于是得到讨论分界点 $a=-3$．
容易证明\[\forall x\in [0,1],1-\dfrac 12x^2\leqslant \cos x\leqslant 1-\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{24}x^4.\]情形一 当 $a>-3$ 时，考虑到\[h(x)\leqslant \dfrac{1}{1+x}-ax-\dfrac 12{x^3}-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2\right),\]也即\[h(x)\leqslant \dfrac{x}{2(x+1)}\cdot \left[x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right].\]而当 $x\in [0,1]$ 时，有\[x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\leqslant -(2a+1)x-2a-6,\]于是\[\begin{split}\min_{0\leqslant x\leqslant 1}\{h(x)\}&\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right\}\\
&\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{-(2a+1)x-2a-6\right\}\\
&\leqslant -2a-6\\
&<0,\end{split}\]不符合题意．情形二 当 $a\leqslant -3$ 时，有\[\begin{split} h(x)&\geqslant 1-x-(-3)\cdot x-\dfrac 12x^3-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2+\dfrac 1{24}x^4\right)\\
&=-\dfrac{1}{12}x^3\left(x^2-6\right)\\
&\geqslant 0,\end{split} \]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left( { - \infty , - 3} \right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
