题目 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，$P(m,n)$ 为圆 $x^2+y^2=16$ 上任意一点，过 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$．设切点分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$． 问题1 证明：切线 $PA$ 的方程为 $\dfrac{x_1x}4+y_1y=1$； 答案1 略 解析1 椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．设点 $A$ 的方程为$$\dfrac{\left(x-x_1\right)^2}4+\left(y-y_1\right)^2=0,$$利用交点曲线系可得切线 $PA$ 的方程为$$\left(\dfrac{x^2}4+y^2-1\right)-\left[\dfrac{\left(x-x_1\right)^2}4+\left(y-y_1\right)^2\right]=0,$$整理得$$\dfrac{2x_1x}4+2y_1y=\dfrac{x_1^2}4+y_1^2+1,$$由于 $\dfrac{x_1^2}4+y_1^2=1$，可得$$PA:\dfrac{x_1x}4+y_1y=1.$$ 备注1 问题2 设 $O$ 为坐标原点，求 $\triangle ABO$ 面积的最大值． 答案2 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 解析2 作仿射变换 $x'=x$，$y'=2y$，则问题等价于从椭圆 $x'^2+\dfrac{y'^2}4=16$ 上点 $P'(m,2n)$ 引圆 $x'^2+y'^2=4$ 的两条切线，切点分别为 $A',B'$，求 $\triangle A'B'O$ 的面积的最大值的一半．$\triangle A'B'O$ 的面积 $S$ 只与 $P'O$ 有关，设 $P'O=x$（$x\in [4,8]$），则$$S(x)=\dfrac 4x\cdot\sqrt{2^2-\left(\dfrac 4x\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac 4x\right)^2\cdot\left[4-\left(\dfrac 4x\right)^2\right]},$$由于 $\left(\dfrac 4x\right)^2$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 14,1\right]$，于是 $S(x)$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt {15}}4,\sqrt 3\right]$，其最大值为 $\sqrt 3$．回到原问题，所求 $\triangle ABO$ 的面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$． 备注2 由曲线系得到的方程是过点 $P$ 的直线，且椭圆上不存在另外一个点也在此直线上，所以它是切线 $PA$ 的方程．<br/>每日一题[661]曲线系与仿射变换．