已知 $2x^2+2y^2-xy=1$，求 $3x^2+4y^2$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{12}5$
【解析】
条件即$$4x^2+4y^2-2xy=2,$$引入含参数 $\lambda$ 的均值不等式$$-2xy\leqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda>0,$$以及$$-2xy\geqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda<0,$$于是考虑系数$$\left(4+\lambda\right):\left(4+\dfrac{1}{\lambda }\right)=3:4,$$解得 $\lambda =-\dfrac 32$ 或 $\lambda =\dfrac 12$．于是可得$$\dfrac 56\left(3x^2+4y^2\right)\leqslant 2\leqslant \dfrac 32\left(3x^2+4y^2\right),$$从而可得 $3x^2+4y^2$ 的最大值为 $\dfrac{12}5$，最小值为 $\dfrac 43$．
答案
解析
备注
