求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^n}\geqslant \dfrac{11+7n}{12}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于\begin{eqnarray*}\begin{split}&\dfrac{1}{2^k+1}+\dfrac{1}{2^k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^k+2^{k-1}}+\dfrac{1}{2^k+2^{k-1}+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^k+2^k}\\\geqslant &\dfrac{2^{k-1}}{2^k+2^{k-1}}+\dfrac{2^{k-1}}{2^{k+1}}=\dfrac{7}{12},\end{split}\end{eqnarray*}于是令 $k=1,2,\cdots,n-1$，可得$$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{2^n}\geqslant 1+\dfrac 12+\dfrac{7}{12}(n-1)=\dfrac {11+7n}{12}.$$
答案
解析
备注
