长为 $3$ 的线段 $AB$ 的两个端点 $A,B$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴上移动，点 $P$ 在直线 $AB$ 上且满足 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow {PA}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求点 $P$ 的轨迹方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析设 $P(x,y)$，则 $A\left(\dfrac 32x,0\right)$，$B\left(0,3y\right)$，于是由 $|AB|=3$ 可得$$\left(\dfrac 32x\right)^2+\left(3y\right)^2=9,$$即 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
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记点 $P$ 轨迹为曲线 $C$，过点 $Q\left(2,1\right)$ 任作直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $M,N$ 两点，过 $M$ 作斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 的直线 $l'$ 交曲线 $C$ 于另一点 $R$，求证：直线 $NR$ 与直线 $OQ$ 的交点为定点（$O$ 为坐标原点），并求出该定点．标注答案$\left(1,\dfrac 12\right)$解析利用仿射变换 $\begin{cases} x'=x,\\ y'= 2y,\end{cases}$ 将椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 变为圆 $x'^2+y'^2=4$，$Q'(2,2)$，$M'R'$ 的斜率为 $-1$，设直线 $N'R'$ 与直线 $OQ'$ 的交点为 $T'$，把问题转化到圆中加以解决，如图．
连接 $OR',ON',OM',R'Q',M'T'$．由于 $OQ'$ 的斜率为 $1$，$R'M'$ 的斜率为 $-1$，于是 $OQ'$ 平分弧 $R'M'$，进而可得$$\angle R'OQ'=\angle T'OM'=\angle R'N'M',$$于是 $O,R',Q',N'$ 四点共圆，$O,T',M',N'$ 四点共圆，有$$\angle R'Q'O=\angle ON'R'=\angle OM'T'=\angle OR'T',$$从而 $\triangle OT'R'$ 与 $\triangle OR'Q'$ 相似，有$$|OT'|\cdot |OQ'|=|OR'|^2=4,$$因此 $|OT'|$ 为定值 $\sqrt 2$，$T'$ 为定点 $(1,1)$．转化到原坐标，所求定点 $T$ 为 $\left(1,\dfrac 12\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
