已知抛物线 $y^2=2px$ 的内接 $\triangle ABC$ 的三条边所在的直线均与抛物线 $x^2=2py$ 相切，求证：$A,B,C$ 三点的纵坐标之和为 $0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设三边所在的直线分别为 $l_1,l_2,l_3$，切点分别为 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$ 且 $l_1,l_2$ 的交点为 $C$，$l_2,l_3$ 的交点为 $A$，$l_3,l_1$ 的交点为 $B$，则$$\begin{cases} l_1:2py=2x_1x-x_1^2,\\ l_2:2py=2x_2x-x_2^2, \\l_3:2py=2x_3x-x_3^2,\end{cases}$$于是有$$A\left(\dfrac{x_2+x_3}2,\dfrac{x_2x_3}{2p}\right),B\left(\dfrac{x_3+x_1}2,\dfrac{x_3x_1}{2p}\right),C\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{x_1x_2}{2p}\right),$$进而由 $A,B,C$ 均在抛物线上可得$$\begin{cases} x_1^2x_2^2=4p^3(x_1+x_2),\\ x_2^2x_3^2=4p^3(x_2+x_3),\\ x_3^2x_1^2=4p^3(x_3+x_1),\end{cases}$$于是可得$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=8p^3\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right),$$即$$\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)\left(1-\dfrac{8p^3}{x_1x_2x_3}\right)=0,$$若 $x_{1}x_2x_3=8p^3$，则将前面方程组中左右两边分别相乘可得$$x_1^4x_2^4x_3^4=64p^9(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)=(8p^3)^3x_1x_2x_3,$$于是有$$8x_1x_2x_3=(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)\geqslant 2\sqrt {x_1x_2}\cdot 2\sqrt{x_2x_3}\cdot 2\sqrt{x_3x_1}=8x_1x_2x_3,$$所以 $x_1=x_2=x_3$，矛盾；
所以有 $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$，进而原命题得证．
所以有 $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$，进而原命题得证．
答案
解析
备注
