设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$b_na_n+a_{n+1}+b_{n+1}a_{n+2}=0$，$b_n=\dfrac{3+(-1)^n}2$，$n\in\mathbb N^*$，且 $a_1=2$，$a_2=4$．
【难度】
【出处】
2011年高考天津卷（理）
【标注】
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求 $a_3,a_4,a_5$ 的值；标注答案$a_3=-3$，$a_4=-5$，$a_5=4$解析当 $n$ 为奇数时，$b_n=1$；当 $n$ 为偶数时，$b_n=2$，
于是 $a_3=-3$，$a_4=-5$，$a_5=4$． -
设 $c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1}$，$n\in\mathbb N^*$，求证：$\{c_n\}$ 是等比数列；标注答案略解析对任意 $n\in\mathbb N^*$，有\begin{eqnarray*}\begin{split} a_{2n-1}+a_{2n}+2a_{2n+1}&=0,\\
2a_{2n}+a_{2n+1}+a_{2n+2}&=0,\\
a_{2n+1}+a_{2n+2}+2a_{2n+3}&=0,\end{split} \end{eqnarray*}从而可得 $a_{2n}=a_{2n+3}$，于是$$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{a_{2n+1}+a_{2n+3}}{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\dfrac{a_{2n}+a_{2n+1}}{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=-1,$$所以 $\{c_n\}$ 是等比数列． -
设 $S_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$，$k\in\mathbb N^*$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}<\dfrac 76$（$n\in\mathbb N^*$）．标注答案略解析根据 $(2)$，$a_{2k-1}+a_{2k+1}=(-1)^k$，$k\in\mathbb N^*$，于是不难求得$$a_n=\begin{cases} (-1)^{k+1}(k+1),&n=2k-1,\\ (-1)^{k+1}(k+3),&n=2k,\end{cases}$$从而$$S_{2k}=-k,S_{2k-1}=k+3,$$于是\begin{eqnarray*}\begin{split} \sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}&=\sum_{m=1}^n\left(\dfrac{S_{4m-3}}{a_{4m-3}}+\dfrac{S_{4m-2}}{a_{4m-2}}+\dfrac{S_{4m-1}}{a_{4m-1}}+\dfrac{S_{4m}}{a_{4m}}\right)\\
&=\sum_{m=1}^n\left(\dfrac{2m+2}{2m}-\dfrac{2m-1}{2m+2}-\dfrac{2m+3}{2m+1}+\dfrac{2m}{2m+3}\right)\\
&=\sum_{m=1}^n\left[\dfrac{2}{2m(2m+1)}+\dfrac{3}{(2m+2)(2m+3)}\right],\end{split} \end{eqnarray*}而当 $n\geqslant 3$ 时，有$$\begin{split} \sum_{m=1}^n\dfrac{2}{2m(2m+1)}<&\dfrac 13+\sum_{m=2}^n\dfrac{2}{(2m-1)(2m+1)}\\=&\dfrac 13+\sum_{m=2}^n\left(\dfrac 1{2m-1}-\dfrac{1}{2m+1}\right)\\=&\dfrac 23-\dfrac 1{2n+1},\end{split} $$又$$\begin{split} \sum_{m=1}^n\dfrac{3}{(2m+2)(2m+3)}<&\sum_{m=1}^n\dfrac{3}{(2m+1)(2m+3)}\\=&\dfrac 32\cdot \sum_{m=1}^n\left(\dfrac 1{2m+1}-\dfrac{1}{2m+3}\right)\\=&\dfrac 12-\dfrac 32\cdot \dfrac 1{2n+3},\end{split} $$于是$$\sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}<\dfrac 23-\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac 12-\dfrac 32\cdot \dfrac{1}{2n+3}<\dfrac 76,$$经检验当 $n=1,2$ 时不等式均成立．
综上所述，原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
