题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 上，给定抛物线 $L:y=\dfrac 14x^2$．实数 $p,q$ 满足 $p^2-4q\geqslant 0$，$x_1,x_2$ 是方程 $x^2-px+q=0$ 的两根，记 $\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}$． 问题1 过点 $A\left(p_0,\dfrac 14p_0^2\right)$（$p_0\neq 0$）作 $L$ 的切线交 $y$ 轴于点 $B$．证明：对线段 $AB$ 上的任一点 $Q(p,q)$，有 $\varphi(p,q)=\dfrac 12|p_0|$； 答案1 略 解析1 显然 $A\left(p_0,\dfrac 14p_0^2\right)$ 在抛物线 $L$ 上，于是过点 $A$ 的抛物线 $L$ 的切线方程为$$y=\dfrac 12p_0x-\dfrac 14p_0^2,$$若 $p_0>0$，则线段 $AB$ 的方程为$$y=\dfrac 12p_0x-\dfrac 14p_0^2,0\leqslant x\leqslant p_0,$$若 $p_0<0$，则线段 $AB$ 的方程为$$y=\dfrac 12p_0x-\dfrac 14p_0^2,p_0\leqslant x\leqslant 0.$$又若 $p^2-4q\geqslant 0$，则方程 $x^2-px+q=0$ 的两根为 $\dfrac{p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$，若 $Q(p,q)$ 在线段 $AB$ 上，则$$q=\dfrac 12p_0p-\dfrac 14p_0^2,$$从而 $p^2-4q=\left(p-p_0\right)^2$，从而两根为$$x_{1,2}=\dfrac{p\pm \left|p-p_0\right|}{2}.$$当 $p_0>0$ 时，$0\leqslant p\leqslant p_0$，则$$\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}=\dfrac{p_0}2=\dfrac{|p_0|}2;$$当 $p_0<0$ 时，$p_0\leqslant p\leqslant 0$，则$$\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}=\dfrac{-p_0}2=\dfrac{|p_0|}2.$$因此原命题得证． 备注1 问题2 设 $M(a,b)$ 是定点，其中 $a,b$ 满足 $a^2-4b>0$，$a\neq 0$．过 $M(a,b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_1,l_2$，切点分别为 $E\left(p_1,\dfrac 14p_1^2\right)$，$E'\left(p_2,\dfrac 14p_2^2\right)$，$l_1,l_2$ 与 $y$ 轴分别交于 $F,F'$．线段 $EF$ 上异于两端点的点集记为 $X$．证明：$M(a,b)\in X\Leftrightarrow |p_1|>|p_2|\Leftrightarrow \varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$； 答案2 略 解析2 由题意知 $l_1,l_2$ 的方程分别为$$l_1:y=\dfrac 12p_1x-\dfrac 14p_1^2,l_2:y=\dfrac 12p_2x-\dfrac 14p_2^2,$$联立解得点 $M$ 的坐标为 $(a,b)=\left(\dfrac {p_1+p_2}{2},\dfrac {p_1p_2}{4}\right)$．从而考虑方程$$x^2-\dfrac {p_1+p_2}{2}x+\dfrac {p_1p_2}{4}=0,$$它的两根为 $\dfrac 12p_1,\dfrac 12p_2$，所以 $\varphi(a,b)=\dfrac 12\max\{|p_1|,|p_2|\}$．<br/>由此知 $|p_1|>|p_2|$ 等价于 $\varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$．下面证明当 $M(a,b)\in X$ 与它们等价：<br/>由 $(1)$ 知 $M(a,b)\in X$ 时，$\varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$；<br/>若 $|p_1|>|p_2|$，有$$|a|\leqslant \dfrac{|p_1|+|p_2|}{2}<\dfrac{|p_1|+|p_1|}{2}=|p_1|,$$从而有 $M(a,b)\in X$． 备注2 问题3 记 $D=\left\{(x,y)\mid y\leqslant x-1,y\geqslant \dfrac 14(x+1)^2-\dfrac 54\right\}$，当 $(p,q)$ 取遍 $D$ 时，求 $\varphi(p,q)$ 的最小值（记为 $\varphi_{\min}$）和最大值（记为 $\varphi_{\max}$）． 答案3 $\varphi_{\min}=1$ 且 $\varphi_{\max}=\dfrac 54$ 解析3 如图，$D$ 表示直线 $y=x-1$ 与抛物线 $y=\dfrac 14(x+1)^2-\dfrac 54$ 所围成的封闭区域（包含边界），其中 $A(0,-1)$，$B(2,1)$ 是直线与抛物线的两个交点．<img src="/static/images/15c9e5f4a0488f2e0ba7a7de870e3dc7.png" class="img-responsive" />当点 $(p,q)\in D$ 时，有$$\dfrac 14(p+1)^2-\dfrac 54\leqslant q\leqslant p-1,$$从而$$(p-2)^2\leqslant p^2-4q\leqslant 4-2p,$$其中 $0\leqslant p\leqslant 2$．于是有$$\dfrac{p+|p-2|}{2}\leqslant \varphi(p,q) =\dfrac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\leqslant \dfrac{p+\sqrt{4-2p}}{2},$$从而$$\varphi(p,q)\geqslant \dfrac{p+2-p}2=1,$$因此 $\varphi_{\min}=1$．<br/>设 $\sqrt{4-2p}=t$，其中 $t\in[0,2]$，则$$\dfrac{p+\sqrt{4-2p}}{2}=\dfrac{\dfrac{4-t^2}2+t}2=-\dfrac{-(t-1)^2+5}{4}\leqslant \dfrac 54,$$所以 $\varphi_{\max}=\dfrac 54$．<br/>综上所述，$\varphi_{\min}=1$ 且 $\varphi_{\max}=\dfrac 54$． 备注3 每日一题[686]以不变应万变．