查看数据源：590aca386cddca0008610e8f
阶梯教室安装的连体课桌一行坐 $6$ 个人，考生只能从课桌两头走出考场，考生交卷时间先后不一，如果坐在里面的考生要先交卷就需要打扰别人，把一行考生中打扰别人交卷的人数视为随机变量 $X$，求 $X$ 的数学期望．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    离散型随机变量
    >
    离散型随机变量的分布列
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    离散型随机变量
    >
    离散型随机变量的数字特征
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    递推与递归
【答案】
$\dfrac{21}{10}$
【解析】
设连体课桌一行坐 $n$（$n\geqslant 3$）个人，则随机变量 $X$ 对应的取值为 $1,2,\cdots ,n-2$．
当 $n=3$ 时，将考生依次记为 $ABC$，那么当第一个交卷的考生为 $A,C$ 时，$X=0$，当第一个交卷的考生为 $B$ 时，$X=1$，于是\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
X&0&1\\ \hline
P_3&\dfrac {4}{3!}&\dfrac {2}{3!}\\ \hline
\end{array}\]当 $n=4$ 时，将考生依次记为 $ABCD$，那么当第一个交卷的考生为 $A,D$ 时，情况转化为 $n=3$ 的情形；当第一个交卷的考生为 $B,C$ 时，情况转化为 $n=3$ 的情形中每个 $X$ 都增加 $1$，于是有\[\begin{split} P_4(X=0)=&\dfrac 24P_3(X=0)=\dfrac 8{4!},\\P_4(X=1)=&\dfrac 24P_3(X=1)+\dfrac 24P_3(X=0)=\dfrac {12}{4!}\\P_4(X=2)=&\dfrac 24P_3(X=1)=\dfrac 4{4!}.\end{split}\]有\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X&0&1&2 \\ \hline
P_4&\dfrac {8}{4!}&\dfrac{12}{4!}&\dfrac {4}{4!} \\ \hline
\end{array}\]进而 $n=5$ 时，对应的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X&0&1&2&3 \\ \hline
P_5&\dfrac {16}{5!}&\dfrac{48}{5!}&\dfrac {44}{5!} &\dfrac{12}{5!}\\ \hline
\end{array}\]而 $n=6$ 时，对应的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
X&0&1&2&3&4 \\ \hline
P_6&\dfrac {32}{6!}&\dfrac{160}{6!}&\dfrac {280}{6!} &\dfrac{200}{6!}&\dfrac{48}{6!}\\ \hline
\end{array}\]于是所求的数学期望为$$\dfrac{160+560+600+192}{6!}=\dfrac{21}{10}.$$
答案 解析 备注
0.111837s