已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 12$，过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆截得的线段长为 $3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$解析根据题意，通径长 $\dfrac{2b^2}{a}=3$，于是椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
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斜率为 $\dfrac 12$ 的动直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，在平面上是否存在定点 $P$，使得当直线 $PA$ 与直线 $PB$ 的斜率均存在时，斜率之和是与 $l$ 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$\left(1,\dfrac 32\right)$ 或 $\left(-1,-\dfrac 32\right)$解析设定点 $P$ 的坐标为 $(m,n)$，平移坐标系，使 $P$ 点为坐标原点，则椭圆方程变为$$\dfrac{\left(x'+m\right)^2}{4}+\dfrac{\left(y'+n\right)^2}{3}=1.$$当 $l$ 不过点 $P'$ 时，设动直线的方程为 $t\left(x'-2y'\right)=1$，则联立直线与椭圆方程，有$$\dfrac 14x'^2+\dfrac 13y'^2+\left(\dfrac m2x'+\dfrac {2n}{3}y'\right)\cdot t\left(x'-2y'\right)+\left(\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1\right)\cdot t^2\left(x'-2y'\right)^2=0,$$整理得 $y'^2$ 的系数为$$\dfrac 13-\dfrac {4n}3t+\left(\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1\right)\cdot 4t^2,$$而 $x'y'$ 的系数为$$\left(\dfrac {2n}3-m\right)t-\left(\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1\right)\cdot 4t^2,$$根据题意，直线 $P'A'$ 与直线 $P'B'$ 的斜率之和$$-\dfrac{\left(\dfrac {2n}3-m\right)t-\left(\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1\right)\cdot 4t^2}{\dfrac 13-\dfrac {4n}3t+\left(\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1\right)\cdot 4t^2}$$为定值．于是$$\dfrac{2n}3-m=\dfrac 14m^2+\dfrac 13n^2-1=0,$$解得 $m=1$，$n=\dfrac 32$ 或 $m=-1$，$n=-\dfrac 32$．对应的 $P$ 点在椭圆上，于是不需要考虑 $l$ 过点 $P$ 的情形．
综上所述，所有满足条件的定点 $P$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$ 或 $\left(-1,-\dfrac 32\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
