已知函数 $f(x)=m\ln x$ 与函数 $h(x)=\dfrac{x-1}{2x}$（$x>0$）的图象有且只有一条公切线，求实数 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
由于函数 $f(x),g(x)$ 的导函数分别为$$f'(x)=\dfrac mx,g'(x)=\dfrac{1}{2x^2},$$设公切线与函数 $f(x)$ 与函数 $g(x)$ 的图象分别相切于 $(a,m\ln a)$ 与 $\left(b,\dfrac 12-\dfrac{1}{2b}\right)$，则$$\begin{cases} \dfrac ma=\dfrac{1}{2b^2},\\ -\dfrac{m}{a}\cdot a+m\ln a = -\dfrac{1}{2b^2}\cdot b+\dfrac 12-\dfrac{1}{2b},\end{cases}$$从而 $b=\sqrt{\dfrac{a}{2m}}$，且$$-m+m\ln a=\dfrac 12-\sqrt{\dfrac{2m}{a}},$$即$$\left(\ln a-1\right)m+\sqrt{\dfrac 2a}\cdot \sqrt m-\dfrac 12=0,$$于是$$\sqrt m=\begin{cases} \sqrt{\dfrac{{\rm e}}8},& a={\rm e},\\ \dfrac{-\sqrt{\dfrac 2a}+\sqrt{\dfrac 2a+2\ln a-2}}{2\left(\ln a-1\right)},& a\ne {\rm e},\end{cases}$$即$$\dfrac{1}{\sqrt {2m}}=x+\sqrt{x^2-2\ln x-1},$$其中 $x=\sqrt{\dfrac{1}{a}}$．记上述等式右边为 $\varphi(x)$，对 $\varphi(x)$ 求导得$$\varphi'(x)=1+\dfrac {x-\dfrac 1x}{\sqrt{x^2-2\ln x-1}}.$$可以证明当 $x\in(0,1)$ 时，$\varphi'(x)<0$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$\varphi'(x)>0$（可以利用 $\ln t$ 与 $1-\dfrac 1t$ 的大小关系得到 $\ln x^2$ 与 $1-\dfrac 1{x^2}$ 的大小关系，从而得到结论）．
从而有 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．当 $x=1$ 时，$\varphi(x)$ 取得最小值 $\varphi(1)=1$．因此当 $m=\dfrac 12$ 时，符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的值为 $\dfrac 12$，对应的公切线方程为 $y=\dfrac 12x-\dfrac 12$．
从而有 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．当 $x=1$ 时，$\varphi(x)$ 取得最小值 $\varphi(1)=1$．因此当 $m=\dfrac 12$ 时，符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的值为 $\dfrac 12$，对应的公切线方程为 $y=\dfrac 12x-\dfrac 12$．
答案
解析
备注
