已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}8=1$ 及圆 $M:x^2+2x+y^2+m=0$．过椭圆的左顶点 $A$ 且与圆 $M$ 相切于点 $B$ 的直线交椭圆 $C$ 于点 $P$，$P$ 与椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的连线交椭圆于 $Q$．若 $B,M,Q$ 三点共线，求实数 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
设 $PA:y=k(x+3)$，$QB:y=-\dfrac 1k(x+1)$，$P(x_1,y_1)$．联立直线 $PA$ 与椭圆方程，可得$$\left(9k^2+8\right)x^2+54k^2x+8k^2-72=0,$$于是可得$$x_1=\dfrac{24-27k^2}{9k^2+8},y_1=\dfrac{48k}{9k^2+8}.$$即 $P$ 点坐标为$$P\left(\dfrac {24-27k^2}{9k^2+8},\dfrac {48k}{9k^2+8}\right).$$而点 $F(1,0)$，联立 $QB$ 与 $PF$ 的方程$$\begin{cases} y=-\dfrac 1k(x+1),\\y-0=\dfrac{48k}{16-36k^2}(x-1).\end{cases}$$解得点 $Q$ 的坐标为$$Q\left(\dfrac{21k^2-4}{3k^2+4},-\dfrac{24k}{3k^2+4}\right).$$由 $Q$ 点在椭圆 $C$ 上可得$$8\left(\dfrac{21k^2-4}{3k^2+4}\right)^2+9\left(\dfrac{24k}{3k^2+4}\right)^2=72,$$整理得$$\left(3k^2-1\right)\left(15k^2+16\right)=0,$$于是 $k^2=\dfrac 13$，进而可得圆 $M$ 的半径为 $1$，于是实数 $m$ 的值为 $0$．
答案
解析
备注
