设抛物线 $C:y=x^2$ 的焦点为 $F$，动点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ 且与抛物线分别相切于点 $A,B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $\triangle APB$ 的重心 $G$ 的轨迹方程；标注答案$y=\dfrac 43x^2-\dfrac 13x+\dfrac 23$解析设 $A\left(a,a^2\right)$，$B\left(b,b^2\right)$，则$$PA:y+a^2=2ax,PB:y+b^2=2bx,$$于是 $P\left(\dfrac{a+b}2,ab\right)$．设 $G(x,y)$，则$$\begin{cases} x=\dfrac13\left(a+b+\dfrac{a+b}2\right)=\dfrac {a+b}{2},\\ y=\dfrac 13\left(a^2+b^2+ab\right),\end{cases}$$又 $P$ 点在直线 $x-y-2=0$ 上，于是$$\dfrac{a+b}2-ab-2=0,$$消去 $a+b,ab$，可得所求的轨迹方程为 $y=\dfrac 43x^2-\dfrac 13x+\dfrac 23$．
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求证：$\angle PFA=\angle PFB$．标注答案略解析分别作焦点 $F$ 关于直线 $PA$ 和 $PB$ 的对称点 $F_1$ 和 $F_2$，连接 $F_1A,F_1P,F_2B,F_2P,F_1F_2$，如图．
由抛物线的光学性质（因为从焦点射入的直线经抛物线反射后与轴平行，所以 $FA$ 关于切线 $AP$ 的对称直线平行于抛物线的轴）可得 $AF_1\parallel OF\parallel BF_2$，$F_1,F_2$ 均在抛物线的准线上（因为 $FA=AF_{1}$，且 $AF_1$ 与 $y$ 轴平行），于是 $|PF_1|=|PF|=|PF_2|$，$\angle PF_1F_2=\angle PF_2F_1$，从而$$\angle AF_1P=\angle BF_2P=\angle AFP=\angle BFP,$$原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
