已知抛物线 $C_1:x^2=2py$（$p>0$）与圆 $C_2:x^2+y^2=8$ 的两个交点之间的距离为 $4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $p$ 的值；标注答案$1$解析略
-
若 $C_1$ 在点 $A,B$ 处切线垂直相交于点 $P$，且点 $P$ 在圆 $C_2$ 内部，直线 $AB$ 与 $C_2$ 相交于 $C,D$ 两点，求 $|AB|\cdot |CD|$ 的最小值．标注答案$2\sqrt{31}$解析设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，对 $y=\dfrac 12x^2$ 求导得 $y'=x$，所以由题意知 $x_1x_2=-1$，联立 $C_1$ 在点 $A,B$ 处的切线方程$$\begin{cases} y=x_1x-\dfrac 12x_1^2,\\y=x_2x-\dfrac 12x_2^2,\end{cases}$$得到交点 $P\left(\dfrac {x_1+x_2}{2},-\dfrac 12\right)$．由点 $P$ 在圆内得$$(x_1+x_2)^2<31.$$又因为直线$$AB:\dfrac 12(x_1+x_2)x-y+\dfrac 12=0$$过抛物线的焦点，所以$$|AB|\cdot|CD|=\dfrac 12(x_1^2+x_2^2+2)\cdot 2\sqrt{8-d^2}=\sqrt{(m+2)(8m+15)}.$$其中 $m=x_1^2+x_2^2<33$，又由 $m=x_1^2+\dfrac 1{x_1^2}\geqslant 2$，所以 $m\in[2,33)$．从而得到$$2\sqrt{31}\leqslant |AB|\cdot|CD|<\sqrt{9765}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
