题目 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$． 问题1 求 $f(x)$ 的解析式及单调区间； 答案1 $f(x)={\rm e}^x-x+\dfrac 12x^2$，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,0)$ 解析1 根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)+x,$$分别令 $x=1$ 和 $x=0$，可得 $f(x)={\rm e}^x-x+\dfrac 12x^2$．进而其导函数$$f'(x)={\rm e}^x-1+x,$$于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,0)$． 备注1 问题2 若 $f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$，求 $(a+1)b$ 的最大值． 答案2 $\dfrac 12{\rm e}$ 解析2 根据题意，有$${\rm e}^x\geqslant (a+1)x+b.$$取函数 $y={\rm e}^x$ 的斜率为 $a+1$ 的切线，设切点为 $t$，则切线方程为$$y={\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,$$其中 ${\rm e}^t=a+1$．易知$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^tx+(1-t){\rm e}^t,$$等号当且仅当 $x=t$ 时取得．因此 $b\leqslant (1-t){\rm e}^t$．由于 $a+1={\rm e}^t>0$，于是$$(a+1)b\leqslant {\rm e}^t\cdot (1-t){\rm e}^t,$$记右侧函数为 $\varphi(t)$，则其导函数$$\varphi'(t)={\rm e}^{2t}(1-2t),$$于是当 $t=\dfrac 12$ 时，$\varphi(t)$ 取得极大值，亦为最大值 $\dfrac 12{\rm e}$．于是 $(a+1)b$ 的最大值为 $\dfrac 12{\rm e}$，此时 $a=\sqrt{\rm e}-1$，$b=\dfrac 12\sqrt{\rm e}$． 备注2 从图形的角度看待题中的不等式，将含有两个变元的式子 $(a+1)b$ 转化为只含一个变元 $t$ 的式子．<br/>每日一题[723]从图形角度看不等式．