求证：$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
分析通项，只需要证明$$\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right),$$即$$\ln n<\dfrac{n-1}{2n\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)}=\dfrac{(n-1)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{2n}.$$事实上，我们有$$\ln n<\sqrt n-\dfrac{1}{\sqrt n}=\dfrac{n-1}{\sqrt n}=\dfrac{(n-1)\cdot 2\sqrt n}{2n}<\dfrac{(n-1)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{2n},$$因此不等式得证．
答案
解析
备注
