设二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$，若对任意的实数 $b$，都存在实数 $x\in [1,2]$，使得不等式 $|f(x)|\geqslant x$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$
【解析】
考虑问题的反面，也即"存在实数 $b$，使得对任意 $x\in [1,2]$，不等式 $|f(x)|<x$ 成立"．由于$$\forall x\in [1,2],|f(x)|<x,$$即$$\forall x \in [1,2],-1<x+\dfrac cx+b<1,$$于是问题的反面等价于函数 $g(x)=x+\dfrac cx,x\in [1,2]$ 的值域"宽度"小于 $2$．
情形一 当 $c>4$ 时，限制条件为 $g(1)-g(2)<2$，解得 $4<c<6$．
情形二 当 $1\leqslant c\leqslant 4$ 时，限制条件为$$\begin{cases} g(2)-2\sqrt c<2,\\ g(1)-2\sqrt c<2,\end{cases}$$解得 $1\leqslant c\leqslant 4$．
情形三 当 $c<1$ 时，限制条件为 $g(2)-g(1)<2$，解得 $-2<c<1$．
综上所述，问题的反面对应的 $c$ 的取值范围是 $(-2,6)$，于是所求的 $c$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．
综上所述，问题的反面对应的 $c$ 的取值范围是 $(-2,6)$，于是所求的 $c$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．
答案
解析
备注
