题目 证明下列不等式： 问题1 若 $\dfrac{1}{\rm e}<x<y<1$，则 $\dfrac yx<\dfrac{1+\ln y}{1+\ln x}$； 答案1 略 解析1 由于 $\dfrac yx<\dfrac{1+\ln y}{1+\ln x}$ 等价于 $\dfrac{1+\ln x}x<\dfrac{1+\ln y}y$，于是只需要证明函数 $f(x)=\dfrac{1+\ln x}x$ 在区间 $\left(\dfrac{1}{\rm e},1\right)$ 上单调递增．函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2},$$于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，因此原命题得证． 备注1 问题2 $\left(\dfrac 2{1^4}+1\right)\left(\dfrac{2}{2^4}+1\right)\cdots \left(\dfrac{2}{n^4}+1\right)<{\rm e}^4$． 答案2 略 解析2 等价于证明$$\ln\left(\dfrac 2{1^4}+1\right)+\ln\left(\dfrac{2}{2^4}+1\right)+\cdots \ln\left(\dfrac{2}{n^4}+1\right)<4,$$而 $\ln (x+1)<x$（$x>0$），于是有\[\begin{split} LHS&<\dfrac{2}{1^4}+\dfrac{2}{2^4}+\dfrac{2}{3^4}+\dfrac{2}{4^4}+\cdots +\dfrac{2}{n^4}\\&\leqslant 2+\dfrac 18+\dfrac{2}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\dfrac 2{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{2}{(n-2)(n-1)n(n+1)}\\&=\dfrac{17}8+\dfrac 23\cdot \left[\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}-\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)}\right]\\&<\dfrac{17}8+\dfrac 19<4,\end{split}\]从而原命题得证． 备注2 因为不等式相当宽松，也可以直接先将分母放缩成二次，得到结果，即\[\begin{split} LHS&<\dfrac{2}{1^4}+\dfrac{2}{2^4}+\dfrac{2}{3^4}+\dfrac{2}{4^4}+\cdots +\dfrac{2}{n^4}\\&\leqslant \dfrac{2}{1^2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{4^2}+\cdots +\dfrac{2}{n^2}\\&<2\left(1+1-\dfrac 12+\dfrac 12-\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n\right)\\&=4-\dfrac 2n<4,\end{split}\]每日一题[736]不等式证明中的函数构造．