已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a+b+c=3$，求 $m=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{81}{16}$
【解析】
先计算可能的最大值．\[\begin{matrix}\hline
a & b & c & m \\ \hline
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & \dfrac 32 & \dfrac 32 & \dfrac{81}{16} \\
1 & 1 & 1 & 3 \\ \hline
\end{matrix}\]不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $c^2\geqslant ab$，于是\[\begin{split}
m&\leqslant \left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)\\
&\leqslant \left(\dfrac a2+b\right)^2\left(\dfrac a2+c\right)^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{16}(a+b+c)^4\\
&=\dfrac{81}{16}
,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=\left(0,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$ 时取得，因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{81}{16}$．
a & b & c & m \\ \hline
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & \dfrac 32 & \dfrac 32 & \dfrac{81}{16} \\
1 & 1 & 1 & 3 \\ \hline
\end{matrix}\]不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $c^2\geqslant ab$，于是\[\begin{split}
m&\leqslant \left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)\\
&\leqslant \left(\dfrac a2+b\right)^2\left(\dfrac a2+c\right)^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{16}(a+b+c)^4\\
&=\dfrac{81}{16}
,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=\left(0,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$ 时取得，因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{81}{16}$．
答案
解析
备注
