求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$
【解析】
注意到函数为定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数，而\[\begin{split} \left|\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}\right|&=\dfrac 12\left|\dfrac{2x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\
&\leqslant \dfrac 12\left|\dfrac{\dfrac 12\left[4x^2+\left(x^2-1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\
&=\dfrac 14,\end{split}\]于是函数的值域为 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．
&\leqslant \dfrac 12\left|\dfrac{\dfrac 12\left[4x^2+\left(x^2-1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\
&=\dfrac 14,\end{split}\]于是函数的值域为 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．
答案
解析
备注
