已知 $f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$，$g(x)=\left(\dfrac 2x-1\right)\ln(x-2)+\dfrac{\ln x-1}x+1$，求证：$f(x)$ 的最小值与 $g(x)$ 的最大值相等．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x\left(x^2+2x\right)-\dfrac 1x,$$于是其极小值点 $x=m$ 满足$${\rm e}^m\left(m^2+2m\right)-\dfrac 1m=0,$$也即$$m+2\ln m+\ln (m+2)=0,$$函数 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为$$f(m)=m^2{\rm e}^m-\ln m=m^2\cdot \dfrac{1}{m^2(m+2)}-\ln m=\dfrac{1}{m+2}-\ln m.$$另一方面，令 $t=x-2>0$，函数 $g(x)$ 的最大值即函数$$h(x)=\dfrac{-x\ln x+\ln (x+2)+x+1}{x+2}$$的最大值．函数 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=-\dfrac{x+2\ln x+\ln (x+2)}{(x+2)^2}.$$于是其极大值点 $x=n$ 满足$$n+2\ln n+\ln (n+2)=0,$$函数 $h(x)$ 的极大值，亦为最大值为\[\begin{split} h(n)&=\dfrac{-n\ln n+\ln (n+2)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{-n\ln n+(-n-2\ln n)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{1}{n+2}-\ln n.\end{split}\]由于函数 $\varphi(x)=x+2\ln x+\ln (x+2)$ 单调递增，于是 $m=n$，进而原命题得证．
答案
解析
备注
